π-Tag

Lasst uns den π-Tag feiern, indem wir π mit den Smartphone-Sensoren abschätzen! Dazu brauchst du nur phyphox und dieses Experiment:

π-Experiment (Link im Smartphone öffnen)

Wie funktioniert es?

Dieses Experiment erzeugt aus dem Rauschen des Beschleunigungssensors Zufallszahlen. Diese Zufallszahlen werden benutzt um Punkte an zufälligen Orten (x,y) in einem Rechteck im Bereich -1 bis +1 auf der x- und y-Achse zu platzieren.

Dir ist sicher aufgefallen, dass in dieses Quadrat ein Kreis mit dem Radius 1 eingezeichnet ist. Wir können sagen, ob ein Punkt (x,y) darin liegt, indem wir den Abstand r² = x² + y² berechnen. Ist dieser kleiner 1, liegt der Punkt innen, ist er größer 1, liegt er außen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt innen landet ist proportional zum Verhältnis der Fläche des Kreises zu der Fläche des Quadrats. Letztere beträgt 4, da das Quadrat eine Seitenlänge von 2 hat. Die Fläche des Kreises ist π, da sein Radius 1 beträgt (die Fläche eines Kreises mit Radius r is πr²). Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt im Kreis landet gleich π/4.

Um schließlich π anzunähern müssen wir nur das Verhältnis der Punkte im Kreis zur Gesamtzahl der Punkte berechnen. π ist dann das Vierfache dieses Verhältnisses.

Probleme

Diese Methode erfordert gleichverteilte Zufallszahlen, die wir aus den Nachkommastellen der Messwerte erzeugen. Dies führt zu folgenden Problemen:

  • Die erste Stelle erscheint recht schnell, die nächste braucht schon etwas länger, um sich zu stabilisieren. Um einen zufriedenstellenden Wert für die letzte hier angezeigte Stelle zu erhalten, musst du damit rechnen, 10.000 bis 100.000 Werte zu sammeln.
  • Dein Smartphone muss ruhen, um annähern gleichverteilte Werte zu erzeugen. Bewegungen können zu Verzerrungen der Verteilung führen.
  • Je nach verbautem Beschleunigungssensor oder der Art, wie dein Smartphone die Daten behandelt, kann es vorkommen, dass die Daten dennoch nicht gleich verteilt sind. In diesem Fall wirst du ein Muster oder eine Systematik darin sehen, wie die Punkte im Graphen verteilt sind. Dies wird das Ergebnis systematisch verfälschen.